Jurnal Matematika

Penyelesaian Suatu Pernyataan Dengan Penghubung Logika Untuk Memperoleh Nilai Kebenaran atau Kesalahan

Dari Variabel

Oleh

May Erlinawati

NIM: 1331057

Program Studi Pendidikan Matematika

Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan

 Pendidikan Guru Republik Indonesia Sidoarjo

Abstrak

Artikel ini membahas tentang logika matematika dan suatu pernyataan majemuk. Logika merupakan kemampuan menalar siswa dalam memecahkan suatu pernyataan dalam matematika. Pada artikel ini disampaikan langkah-langkah untuk memperoleh nilai kebenaran atau kesalahan dari pernyataan-pernyataan majemuk dalam matematika dengan menggunakan berbagai penghubung logika, diantaranya adalah negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

Kata Kunci: Logika, Pernyataan Majemuk dan Penghubung Logika Matematika

1.     Pendahuluan

Jurnal ini adalah untuk memberikan gambaran secara ringkas mengenai pentingnya menalar dan berpikir secara kritis dalam kehidupan sehari-hari. Dengan kurangnya kemampuan untuk menalar, dapat membuat asumsi yang salah terhadap sesuatu, hanya karena salah menafsirkan dari suatu pernyataan. Sehingga, dengan belajar menggunakan logika dapat membantu untuk menghindari salah penafsiran dan dapat meningkatkan keahlian dalam berpikir analitis, serta dapat mengenal bentuk-bentuk penarikan kesimpulan yang benar dan yang salah.

Bahasa, logika, matematika, dan statistika adalah sarana yang mutlak diperlukan dalam suatu kegiatan ilmiah (Suriasumantri, 1999:167). Bahasa merupakan alat komunikasi, logika merupakan pola berpikir, matematika berperan dalam pola pikir deduktif, dan statistika berperan dalam pola pikir induktif. Matematika adalah bahasa yang sangat simbolis (Kline dalam Suriasumantri, 1983:174-184). Matematika menjembatani antara manusia dan alam, antara dunia batin dan dunia lahir. Matematika adalah alat pikiran, bahasa ilmu, tata cara pengetahuan, dan penyimpulan deduktif.

Pada tahun-tahun terakhir ini, lebih banyak prosedur matematika yang rumit digunakan dalam berbagai cabang ilmu, seperti ilmu kimia, ilmu fisika, ilmu ekonomi, ilmu kedokteran, serta dalam jumlah yang semakin meningkat. Oleh karena itu, topik ini sangat membantu siswa untuk meningkatkan berpikir secara kreatif dan dapat meningkatkan daya nalar siswa, serta dapat juga diaplikasikan secara langsung dalam kehidupan sehari-hari. Disini guru berperan penting dan harus memiliki kemampuan untuk mengembangkan kreativitas, keaktifan, dan keterampilan siswa dalam melakukan penalaran secara logis dan kritis.

2.     Pembahasan

2.1       Pengertian Logika

Logika adalah sesuatu yang berhubungan dengan metode berpikir yang  merupakan suatu pernyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan argumentasi sering sekali ditemukan bahkan digunakan dalam kehidupan sehari-hari secara nyata. Logika memberikan aturan-aturan dan tekhnik untuk menentukan apakah suatu pernyataan yang diberikan adalah valid, serta berpikir logis dan kritis yang digunakan dalam matematika untuk membuktikan suatu teorema. Seperti, untuk menarik kesimpulan dalam Ilmu Pengetahuan Alam adalah dari suatu eksperimen. Dalam logika kita tertarik pada benar atau salah dari suatu pernyataan, dan bagaimana mencari kebenaran atau kesalahan dari suatu pernyataan yang dapat ditentukan dari pernyataan-pernyataan lain dengan menggunakan penghubung logika sebagai pengganti dari suatu pernyataan yang spesifik untuk menyajikan sebarang pernyataan-pernyataan, sehingga hasilnya dapat digunakan dalam banyak kasus yang serupa.

Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang shahih (valid, correct) dan yang tidak shahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan yang diketahui bernilai benar atau salah disebut penalaran (reasoning).

2.2        Pernyataan

Unit terkecil yang berhubungan dengan logika adalah kalimat. Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti yang dapat berupa pernyataan, pertanyaan, perintah atau permintaan.  Kalimat-kalimat yang berhubungan dengan logika bukan sebarang kalimat, melainkan kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, namun bukan keduanya. Jenis kalimat seperti itu disebut pernyataan atau statement.

Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum tentu pernyataan. Hanya sebuah kalimat yang menerangkan sesuatu (kalimat deklaratif) yang dapat digolongkan sebagai pernyataan karena memiliki nilai benar atau salah, namun bukan keduanya.

Jadi, pernyataan adalah sebuah kalimat deklaratif yang bernilai benar saja atau salah saja. Istilah lain dari pernyataan adalah proposisi atau kalimat tertutup.

Suatu pernyataan (termasuk teori) tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar. Oleh karena itu, untuk menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan kalimat berikut

p = Semua manusia akan mati.

q = Jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 180ᵒ.

Pernyataan yang disajikan dengan huruf p, q,… disebut sebagai variabel pernyataan primitif yang dapat digabungkan dengan penghubung logika untuk memperoleh pernyataan majemuk.

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, Suriasumantri (1988) menyatakan bahwa ada tiga teori yang berkaitan dengan kriteria kebenaran ini., yaitu teori korespondensi, teori koherensi, dan teori pragmatis. Namun, sebagian buku hanya membicarakan dua teori saja, yaitu yaitu teori korespondensi (suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di kalimat tersebut sesuai dengan keadaan yang sesungguhnya) dan teori koherensi (suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten, dan tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar). Sehingga, jawaban dari pernyataan p dan q sama-sama bernilai benar, namun dengan alasan yang berbeda.

2.3          Penghubung Logika

2.3.1     Negasi (Ingkaran)

Negasi adalah ingkaran suatu pernyataan yang bernilai benar jika pernyataan yang semula bernilai salah, dan sebaliknya ingkaran suatu pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan yang semula bernilai benar. Membuat sebuah ingkaran suatu pernyataan dapat dengan menambahkan kalimat “bukan”, “tidak”, atau “tidak benar bahwa” di depan pernyataan aslinya, namun tidak untuk pernyataan-pernyataan tertentu.

Contoh:

1.      Jika p = Jakarta Ibu Kota RI (B)

Maka,  ̴  p = Tidak benar bahwa Jakarta Ibu Kota RI (S) atau

            ̴  p = Jakarta bukan Ibu Kota RI (S)

2.      Jika q = 3 + 4 > 8 (S)

Maka,  ̴ q = Tidak benar bahwa 3 + 4 > 8 (B) atau

            ̴ q = 2 + 3 < 8 (B)

p	̴ p
B	S
S	B

Berdasarkan contoh pernyataan diatas, maka dapat dibuat sebuah tabel kebenaran untuk ingkaran, yaitu

2.3.2     Konjungsi (dan)

Konjungsi adalah dua buah pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan “dan” serta diberi symbol “Λ”. Jika suatu pernyataan yang pertama bernilai benar, maka pernyataan yang kedua juga benar. Dan sebaliknya, jika pernyataan yang pertama bernilai salah, maka pernyataan yang kedua bernilai salah.

Contoh:

1.      Jika r = Sholihuddin mahasiswa STKIP Sidoarjo

       s = Sholihuddin mahasiswa Prodi Matematika

Maka, r Λ s = Sholihuddin mahasiswa STKIP Sidoarjo dan Prodi Matematika

2.      Jika x = Sholihuddin mahasiswa STKIP Sidoarjo

       y = Nanang mahasiswa UIN Surabaya

Maka, x Λ y = Sholihuddin mahasiswa STKIP Sidoarjo dan Nanang mahasiswa UIN Surabaya

p	q	p Λ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Berdasarkan contoh pernyataan diatas, maka dapat dibuat sebuah tabel kebenaran untuk konjungsi, yaitu :

2.3.3     Disjungsi (atau)

Disjungsi adalah suatu pernyataan yang dihubungkan dengan “atau”  yang akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik pernyataan pertama maupun pernyataan kedua, keduanya bernilai salah, dan yang selain itu akan bernilai benar.

Berdasarkan pengertian diatas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan “atau” yang merupakan disjungsi dari kedua pernyataan semula, yaitu

a.       Disjungsi inklusif yang diberi symbol “V” dan akan bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar

b.      Disjungsi eksklusif yang diberi symbol “V” dan akan bernilai benar jika hanya salah satu komponennya bernilai benar

Contoh:

1.      Jika r = Aku tinggal di Indonesia

       s = Aku belajar matematika sejak SMP

Maka, r V s = Aku tinggal di Indonesia atau belajar matematika sejak SMP

Pernyataan r V s akan bernilai benar jika “Aku benar-benar tinggal di Indonesia atau Aku benar-benar belajar matematika sejak SMP.

2.      Jika r = Fahmi lahir di Surabaya

       s = Fahmi lahir di Bandung

Maka, r V s = Fahmi lahir di Surabaya atau Bandung

Pernyataan r V s akan bernilai benar jika “Fahmi benar-benar lahir di salah satu kota, yaitu Surabaya atau Bandung, dan tidak di kedua tempat itu”.

Berdasarkan pengertian dan contoh diatas, maka dapat dibuat sebuah tabel kebenaran untuk disjungsi, yaitu

p	q	p V q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

P	Q	p V q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

a.    disjungsi inklusif                                     b. disjungsi eksklusif

2.3.4     Kondisional (Implikasi atau Pernyataan Bersyarat)

Kondisional (implikasi) adalah pernyataan dalam matematika yang berbentuk “jika p maka p” dan diberi simbol “=>”. Pernyataan p => q, p disebut hepotesa (anteseden) dan q disebut konklusi (konsejuen) serta dapat dibaca sebagai:

a.    Jika p maka p

b.   p berimplikasi q

c.    p hanya jika q

d.   q jika p

e.    q asal saja p

Implikasi p => q bernilai benar jika anteseden salah atau konsekuen benar.

Contoh:

1.      Jika p = Burung mempunyai sayap (B)

q = 2 + 3 = 5 (B)

Maka, p => q = Jika burung mempunya sayap, maka 2 + 3 = 5 (B)

2.      Jika r = x bilangan cacah (B)

s = x bilangan bulat positif (S)

Maka, r => s = Jika x bilangan cacah, maka x bilangan bulat positif (S)

P	q	p =>q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Berdasarkan definisi di atas, maka dapat dibuat sebuah tabel kebenaran untuk implikasi, yaitu

2.3.4.1 Konvers, Invers dan Kontraposisi

Suatu pernyataan bernilai benar “jika hari hujan, Andi memakai jas hujan”, maka itu tidak berarti bahwa “Andi memakai jas hujan jika hari hujan” juga bernilai benar, sebab mungkin saja “Andi memakai jas hujan walapun hari tidak hujan”. Demikian pula dengan pernyataan “jika hari tidak hujan, Andi tidak memakai jas hujan” belum tentu bernilai benar, sedangkan pernyataan “jika Andi tidak memakai jas hujan, hari tidak hujan” akan bernilai benar. Maka : a. Konvers dari implikasi p => q adalah q => p

b.   Invers dari implikasi p => q adalah  ̴ p =>  ̴ q

c.    Kontraposisi dari implikasi p => q adalah  ̴ q =>  ̴ p

Sehingga, hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat ditunjukkan dengan skema berikut ini:

q => p                         Konvers                         q => p                 

                 Invers            Kontraposisi               Kontraposisi            Invers

   ̴ q =>   ̴p                            Konvers                     ̴ q =>   ̴p

2.3.5     Bikondisional (Biimplikasi atau Pernyataan Bersyarat Ganda)

Bikondisional (biimplikasi) adalah suatu pernyataan matematika yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” dan diberi simbol “ó” juga disebut sebagai pernyataan biimplikatif.

“p jika dan hanya jika q” berarti “jika p maka q dan jika q maka p”, sehingga “p adalah syarat perlu dan cukup bagi q”.

Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai benar.

Contoh:

1.      Jika p = 2 adalah bilangan genap (B)

q = 3 adalah bilangan ganjil (B)

Maka, p ó q = 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 3 adalah bilangan ganjil (B)

2.      Jika r = 2 + 2 ≠ 5 (B)

s = 4 + 4 < 8 (S)

Maka, r ó s = 2 + 2 ≠ 5 jika dan hanya jika 4 + 4 < 8 (S)

Berdasarkan definisi di atas, maka dapat dibuat tabel kebenaran untuk biimplikasi, yaitu:

p	q	p ó q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

3.     Penutup

Kemampuan menalar yang kuat adalah penting bagi siswa-siswi untuk menemukan suatu kebenaran atau kesalahan dari pernyataan-pernyataan dalam kehidupan sehari-hari agar tidak terjadi kesalahfahaman. Dalam bidang matematika, kemampuan menalar yang tinggi dan berpikir yang logis serta kritis sangat diperlukan untuk memperoleh suatu kebenaran atau kesalahan yang berasal dari suatu pernyataan majemuk dengan menggunakan penghubung logika, yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Untuk meningkatkan kemampuan menalar siswa, guru harus memiliki kemampuan untuk mengembangkan kreativitas, keaktifan, dan ketrampilan siswa dalam melakukan penalaran secara logis dan kritis dengan cara melakukan pembiasaan secara rutin untuk menarik suatu kesimpulan dari pernyataan-pernyataan dalam kehidupan sehari-hari.

Daftar Pustaka

Seputro, Theresia M.H. Tirta. 1989. Pengantar Dasar Matematika (Logika dan Teori Himpunan). Jakarta: Ikip Surabaya.

Markaban. 2004. Logika Matematika. Yogyakarta, (Online), (http://p4tkmatematika.org/downloads/sma/logika.pdf, diakses 26 Januari 2015)

Suyitno, Hadi. 2008. Hubungan Antara Bahasa Dengan Logika dan Matematika Menurut Pemikiran Wittenstein, (Online), Volume 20, (http://jurnal.ugm.ac.id/jurnal-humaniora/article/view/971/764, diakses 26 Januari 2015)