Sistem Persamaan Linier

                                                              BAB I

PENDAHULUAN

Persamaan dan pertidaksamaan linier sebenarnya sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saat kita membeli 10 buah bulpoin dan 6 buah buku tulis dengan harga keseluruhan sebesar Rp. 24.000,- dengan menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linier kita dapat menghitung berapa harga masing-masing 1 buah bulpoin dan 1 buah buku tulis.

Persamaan linear satu variable adalah kalimat terbuka yang menyatakan bahwa hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variable berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variable adalah

ax + b = c, dengan a,b,cÎR dan a ¹ 0

Persamaan linear dua variable adalah persamaan yang mengandung dua variable dengan pangkat masing-masing variable sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variable adalah

ax + by = c, dengan a,b,cÎR dan a ¹ 0, b ¹ 0

BAB II

PEMBAHASAN

A.    PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

1.      Pengertian Persamaan dan Bukan Persamaan

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi “sama dengan”(dilambangkan dengan tanda =). Persamaaan dapat dinyatakan pula sebagai dua bentuk aljabar yang dihubungkan dengan tanda “=”. Secara umum persamaan berbentuk A₁=A₂ (dengan A merupakan bentuk aljabar). Dalam hal ini A₁ disebut ruas kiri dan A₂ disebut ruas kanan. Jika A₁ dan A₂ keduanya ekuivalen dan tidak memuat variabel, maka persamaan itu disebut kesamaan.

2.      Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, ≤, ≥ atau ≠. Dalam pelajaran aljabar biasanya hanya terkait dengan relasi <, >, ≤, atau ≥ saja.

Contoh: perbedaan bukan persamaan, persamaan, dan pertidaksamaan

Bukan persamaan Persamaan Pertidaksamaan

2x+3                (bukan Persamaan)

2x +3=0           (persamaan)

2x +3>2           (pertidak samaan)

3.      Pengertian Penyelesaian Kalimat Terbuka

Penyelesaian kalimat terbuka dengan satu variabel adalah konstanta (konstanta-konstanta) anggota daerah definisinya, yang jika digantikan (disubstitusikan) pada variabel dalam kalimat itu, kalimat terbuka semula menjadi pernyataan yang bernilai benar. Penyelesaian persamaan disebut juga akar persamaan. Pada pertidaksamaan, selain berupa bilangan tunggal, penyelesaiannya dapat berupa sejumlah bilangan dalam interval tertentu.

4.      Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan yang Ekuivalen

Dua persamaan atau pertidaksamaan dikatakan ekuivalen, jika keduanya mempunyai himpunan penyelesaian yang sama sehingga apabila anggota himpunan penyelesaian tersebut disubtitusikan ke persamaan atau pertidaksamaan hasilnya bernilai benar.

Suatu persamaan atau pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam bentuk ekuivalendengan cara sebagai berikut:

a)      Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

b)      Mengali atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

5.      Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel

Perhatikan uraian berikut:

Tentukan penyelesaian dari bentuk aljabar di bawah ini:

a.       x -6 =19

Penyelesaian:

a.       x -6 =19

Untuk menyelesaikan persamaan di atas, tujuan kita adalah mencari berapa nilai xyang tepat sehingga x -6 =19 akan bernilai benar untuk x tertentu.

Perhatikan ruas yang mempunyai suku bervariabel dari persamaan tersebut!

Untuk mendapatkan nilai x , nilai (-6) harus di nol kan, caranya tambahkan keduaruas dengan lawan dari suku (-6), seperti di bawah ini:

x - 6 =19 --------------------------- tambahkan kedua ruas dengan lawan (-6)

x - 6 + 6 = 19 + 6 ------------------ kedua ruas ditambah (+6)

x + 0 = 25 --------------------------- hasilnya

x =25

maka persamaan x - 6 =19 menghasilkan x = 25 --- (dibaca: persamaan    x - 6 = 19 ekuivalen dengan persamaan x = 25)

6.      Grafik Penyelesaian Persamaan dengan Satu Variabel

Penyelesaian dari suatu persamaan dapat ditunjukkan pada garis bilangan yang disebut grafik penyelesaian. Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear satu variable ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik).

            Contoh:

            Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4(2x + 3) = 10x + 8,

jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Kemudian, gambarlah pada garis bilangan.

Penyelesaian:

4(2x + 3) = 10x + 8

8x + 12 = 10x + 8

8x + 12 – 12 = 10x + 8 – 12 (kedua ruas dikurangi 12)

8x = 10x – 4

8x – 10x = 10x – 4 – 10x (kedua ruas dikurangi 10x)

–2x = –4

–2x : (–2) = –4 : (–2) (kedua ruas dibagi –2)

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:

 

    –5   –4   –3   –2  –1    0     1      2     3      4      5     6      7

B.     SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

1.         Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk Umum PLDV :

ax + by = c

x dan y disebut variabel

2.      Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum SPLDV :

ax + by = c

px + qy = r

dengan x , y disebut variabel

a, b, p, q disebut kofisien

c , r disebut konstanta

3.      Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variable (SPLDV)

Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :

1)      Metode Substitusi

Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain. Contoh:

Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6

Jawab:

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu

x + 2y = 8

Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y.

Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya, kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan 2x – y = 6 menjadi :

2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)

16 – 4y – y = 6

16 – 5y = 6

-5y = 6 – 16

-5y = -10

5y = 10

y = 2

masukkan nilai y = 2 ke dalam salah satu persamaan :

x + 2y = 8

x + 2.2 = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.

Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

2)      Metode Eliminasi

Dengan cara menghilangkan salah satu variabel x atau y.

Contoh:

Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi.

Jawab:

x + 2y = 8

2x – y = 6

(i)                 mengeliminasi variabel x

x + 2y = 8 | x 2 | 2x + 4y = 16

2x – y = 6 | x 1 | 2x - y = 6     - ………*

5y = 10

  y = 2

masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan:

Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

x + 2y = 8

x + 2.2 = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

HP = {4, 2}

(ii)               mengeliminasi variable y

x + 2y = 8 | x 1 |  x + 2y = 8

2x – y = 6 | x 2 |  4x - 2y = 12  + ……*

5x = 20

  x = 4

masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan:

x + 2y = 8

4 + 2y = 8

2y = 8 – 4

2y = 4

y = 2

HP = {4, 2}

* catatan

nilai (+) atau (–) digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu variabel agar menjadi 0.

Contoh (i) yang dieliminasi adalah x :

x dalam persamaan satu (+) dan persamaan dua (+) digunakan tanda (-)

(ii) yang dieliminasi adalah y :

y dalam persamaan satu (+), persamaan dua (-) atau sebaliknya digunakan tanda (+)

4.      Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variable dalam Kehidupan Sehari-Hari

Contoh:

Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000,- kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-

Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk ?

Jawab:

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.

Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y, maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya 4 x + 5 y = ?

Kita eliminasi variabel x :

2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 –

       7y = 7000

         y = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan:

2x + 3y = 6000

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x = 6000 – 3000

2x = 3000

x = 1500

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan

y = 1000 (harga sebuah jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah

4 x + 5 y =

4. 1500 + 5. 1000 =

6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

Jadi, uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah Rp. 11.000,-

5.   Grafik Penyelesaian Persamaan dengan Dua Variabel

Penyelesaiannya didapatkan dengan menggunakan titik potong antara dua garis lurus tersebut pada grafik garis lurus.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari x + 2y = 8 dan 2x – y = 6

Langkah-langkah penyelesaiannya :

1.      Menentukan titik-titik potong pada sumbu x dan sumbu y dari kedua persamaan.

Persamaan (1)

x + 2y = 8

titik potong dengan sumbu x apabila y = 0

x + 2y = 8

x + 2.0 = 8

x = 8

titik potong dengan sumbu y apabila x = 0

x + 2y = 8

0 + 2y = 8

2y = 8

y = 4

tabelnya :

	x + 2y = 8
X	8	0
Y	0	4

Persamaan (2)

2x - y = 6

titik potong dengan sumbu x apabila y = 0

2x - y = 6

2x - .0 = 6

2x = 6

x = 3

titik potong dengan sumbu y apabila x = 0

2x - y = 6

0 - y = 6

-y = 6

y = -6

tabelnya:

	2 x - y =6
X	3	0
Y	0	-6

2.      Buatlah grafik garis lurus menggunakan tabel-tabel di atas :

3.      Menentukan titik potong kedua persamaan tersebut (x,y)

Terlihat titik potongnya adalah x =4 dan y =2 ,

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah (4,2)

BAB III

PENUTUP

Simpulan

·         Sistem persamaan linier satu variabel dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu:

1.      Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

2.      Mengali atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

3.      Menggunakan garis bilangan (grafik).

·         Sistem persamaan linier dua variable dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu:

1.      Substitusi.

2.      Eliminasi.

3.      Menggunakan titik potong antara dua garis lurus (grafik garis lurus).

DAFTAR PUSTAKA

Adinawan, Cholik. dan Sugijono. 2013. Matematika SMP/MTs Jilid 1A Kelas VII. Jakarta: Erlangga.